Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Система уроков по учебнику А. Г. Мордковича и др. (базовый уровень). Программа для установки через Интернет

Урок 15. Дифференцирование степенных функций

Урок 15
Дифференцирование степенных функций

Цели деятельности педагога: изучить формулу дифференцирования степенной функции, создать условия для формирования умения её применять при решении различных задач; способствовать развитию оперативной памяти, логического мышления, произвольного внимания.

Планируемые результаты.

Предметные: знают формулу дифференцирования степенной функции, применяют формулу дифференцирования степенной функции при решении различных задач.

Личностные: проявляют потребность в самовыражении и самореализации.

Метапредметные: регулятивные – принимают и сохраняют учебную задачу, определяют цель учебной деятельности; познавательные – осуществляют синтез, как составление целого из частей, строят цепочки логических рассуждений, извлекают из математических текстов необходимую информацию; коммуникативные – выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью в соответствии с задачами коммуникации, строят понятные для партнера высказывания.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Найдите производную функции.

а) y = x2; б) y = x6; в) y = 3x + 1; г) y = 2 – x;

д) y = 2x10; е) y = 0,3x3 – 1; ж) y = ; з) y = .

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке основное внимание следует уделить дифференцированию степенных функций.

Учащиеся уже знают, чему равна производная функции y = xn, где п – натуральное число. Также им известны производные ещё ряда функций, которые они искали при проведении устной работы.

Согласно пункту учебника выводится формула для нахождения производной степенной функции с рациональным показателем.

Затем следует рассмотреть примеры 2 и 5 из учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на 3 группы:

– нахождение производной степенной функции;

– использование геометрического смысла производной;

– использование производной для исследования функции.

1 группа

1. № 38.22, 38.23.

2. № 38.24 (а; б), 38.25 (а; в).

3. № 38.26 (б; в).

4. № 38.27 (г).

Решение:

, x0 = 2.

;

;

= 2.

Ответ: 2.

2 группа

1. № 38.28 (г).

2. № 38.29 (б).

3. № 38.30 (б).

Решение:

, a = 3.

;

;

;

Урок 27. Использование свойств логарифмов при решении задач

Урок 27
Использование свойств логарифмов
при решении задач

Цели деятельности педагога: продолжить формировать умения использовать свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений, решения уравнений и решения различных задач; способствовать развитию оперативной памяти, логического мышления, произвольного внимания, математической речи.

Планируемые результаты.

Предметные: умеют применять свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений, решения уравнений и решения различных задач.

Личностные: умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения и принятия.

Метапредметные: регулятивные – прилагают волевые усилия и преодолевают трудности и препятствия на пути достижения целей; познавательные – осуществляют выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; коммуникативные – учитывают разные мнения и интересы, обосновывают свою позицию.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вычислить.

а) log 2 8; б) lg 0,001; в) log 3 ;

г) log 4 2 + log 4 8; д) lg 300 – lg 3; е) log 3 243;

ж) ; з) ; и) .

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

1) Запишите 0,00019 в стандартном виде.

а) 0,019 · 10–2; б) 0,19 · 10–3; в) 1,9 · 10–4; г) 19 · 10–5.

2) Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде.

а) 1,2 · 109; б) 2,7 · 10–3; в) 4,42 · 105; г) 9,28 · 10–4.

3) Расстояние от Земли до Солнца равно 1,5 · 1011 метров. Выразите это расстояние в километрах.

а) 1,5 · 1010; б) 1,5 · 109; в) 1,5 · 108; г) 1,5 · 107.

2. Объяснение проводится согласно пункту учебника. Рассматриваем пример 5 со с. 261. Мы вспомнили, что в стандартном виде число записывается a = a0 · 10n, где 1 Ј a0 < 10 и n О Z (порядок числа a).

Найдем десятичный логарифм числа a.

lg a = lg (a0 · 10n) = lg a0 + lg 10n = lg a0 + n.

Таким образом,

Так как 1 Ј a0 < 10, то 0 Ј lg a0 < 1 (в силу возрастания функции
y = lg x).

п – характеристика десятичного логарифма числа a.

lg a0 – мантисса десятичного логарифма числа a.

Данные понятия используются для вычисления десятичных логарифмов любого положительного числа.

3. Рассматриваем занимательный пример со с. 262.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на уроке, можно разбить на следующие группы.

1 группа. Логарифмирование выражений, № 43.23, № 43.24 (а; б), № 43.25 (а; б).

2 группа. Решение уравнений (с использованием свойств логарифмов) потенцированием, № 43.26 (а; б), № 43.27, № 43.29 (а; б).

3 группа. Вычисление десятичных логарифмов, № 43.30 (а; б),
№ 43.31 (а; б).

4 группа. Использование свойств логарифмов при решении различных задач, № 43.32 (а; б), № 43.33 (а; б), № 43.34, № 43.35 (а; б) – 43.37 (а; б).

Решение:

1 группа

№ 43.23.

x = ;

log n x = log n = log n a2 + log n c3 – log n = 2 log n a +
+ 3 log n c – log n b.

№ 43.24 (б).

Урок 11. Понятие степени с дробным показателем

Урок 11
Понятие степени с дробным показателем

Цели деятельности педагога: ввести понятие степени с дробным показателем; создать условия для формирования умения вычислять степени с дробным показателем; способствовать развитию оперативной памяти, логического мышления, произвольного внимания.

Планируемые результаты.

Предметные: знают, что такое степень с дробным показателем, умеют переходить от степени к корню и наоборот, а также вычислять степень с дробным показателем.

Личностные: готовность и способность к выполнению норм и требований школьной жизни, прав и обязанностей ученика.

Метапредметные: регулятивные – осуществляют познавательную рефлексию в отношении действий по решению учебных и познавательных задач; познавательные – структурируют текст, включая умение выделять главное и второстепенное; коммуникативные – устанавливают и сравнивают разные точки зрения, прежде чем принимать решения и делать выбор.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислите.

а) 34; б) (–2)3; в)

г) 5–3; д) 2–5; е)

ж) з) и)

2. Какие из следующих выражений не имеют смысла.

а) (–3)–2; б) 011; в) 0–3;

г) д) е)

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке основное внимание следует уделить введению понятия степени с дробным показателем, научить школьников переходить от степени к корню и наоборот, а также вычислять степень с дробным показателем.

Вопрос об упрощении выражений, содержащих степени с дробными показателями, целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

Объяснение проводить согласно пункту учебника в несколько этапов.

1. Актуализация знаний.

Актуализация была частично проведена при устной работе. В целом же, необходимо обобщить знания учащихся о степенях с различными показателями.

На доске и в тетрадях учащихся должна появиться запись:

Частные случаи: п = 2, 3, 4, … п = 1, 2, 3, …; а № 0

К каждому случаю приводятся задания на вычисление.

а) (–8)1; б) 50; в)

г) 26; д) е) (–6)3;

ж) 9–2; з) и) 2–5.

2. Введение понятия степени с положительным дробным показателем.

Объяснение проводить в проблемной форме, в итоге придя к соответствующему определению:

Особое внимание учащихся следует обратить на тот факт, что степень с дробным показателем рассматривается только для положительного основания. В противном случае такая степень не имеет смысла.

3. Умножение и деление степеней с дробным показателем.

Показать учащимся, что соответствующие свойства степени сохраняются и для случая дробного показателя. Необходимо, чтобы они осознали, что в большинстве случаев удобнее работать со степенями, чем с корнями.

4. Вычисление степени с дробным показателем.

Рассмотреть пример 1 из учебника, сделав вывод о том, как вычисляется степень с дробным показателем.

Урок 12. Преобразование выражений, содержащих степень с дробным показателем

Урок 12
Преобразование выражений,
содержащих степень с дробным показателем

Цели деятельности педагога: создать условия для формирования умения преобразовывать выражения, содержащие степень с дробным показателем; способствовать развитию оперативной памяти, логического мышления, произвольного внимания.

Планируемые результаты.

Предметные: знают свойства степени с дробным показателем, умеют преобразовывать выражения, решать уравнения, содержащие степень с дробным показателем.

Личностные: выраженная устойчивая учебно-познавательная мотивация.

Метапредметные: регулятивные – учитывают правило в планировании и контроле способа решения; познавательные – строят логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей; коммуникативные – осуществляют взаимный контроль и оказывают в сотрудничестве необходимую взаимопомощь.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Какие из следующих выражений не имеют смысла?

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

2. Вычислите.

а) б) 7–1; в)

г) д) е)

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о степенях с различными показателями и их свойствах. Затем ещё раз сделать вывод о том, что для степени с дробным показателем справедливы те же свойства, что и для степени с целым показателем.

Эти свойства учащиеся записывают в тетрадях:

1) as · at = as + t;

2) as : at = as – t;

3) (ab)s = as · bs;

4) ;

5) (as)t = ast.

После этого следует рассмотреть пример 2 из учебника. Примеры 3 и 4 нужно разбирать только в том случае, если на уроке будут выполняться соответствующие задания.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на 3 группы. В первой группе будут несложные задания на непосредственное применение свойств степени с рациональным показателем. Во вторую группу войдут более сложные задания на преобразование выражений, содержащих степени. Третья группа заданий – дополнительная. В неё войдут уравнения, содержащие степени с дробным показателем.

1 группа

1. № 37.17 (а; г), 37.18 (б; г).

2. № 37.19 (а; в).

3. № 37.21 (а; б), 37.22 (а; в).

4. Упростите выражение.

а) б) в)

2 группа

1. № 37.25 (б), 37.26 (а; б), 37.27 (а; б).

2. № 37.28 (а; г), 37.29 (а).

№ 37.28.

Решение:

а)

г)

Урок 17. Свойства показательной функции

Урок 17
Свойства показательной функции

Цели деятельности педагога: изучить основные свойства показательной функции; создать условия для формирования умения использовать свойства показательной функции для исследования функций и решения уравнений и неравенств; способствовать развитию оперативной памяти, логического мышления, произвольного внимания.

Планируемые результаты.

Предметные: знают основные свойства показательной функции, умеют использовать свойства показательной функции для исследования функций и решения уравнений и неравенств.

Личностные: выраженная устойчивая учебно-познавательная мотивация.

Метапредметные: регулятивные – учитывают правило в планировании и контроле способа решения; познавательные – строят логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей; коммуникативные – осуществляют взаимный контроль и оказывают в сотрудничестве необходимую взаимопомощь.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить.

а) б) (–3)0; в)

г) д) 037; е)

ж) 3–6 · 38; з) · 3–3; и)

2. Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными.

а) y = x3; б) y = ; в) y =

г) y = ; д) y = 8x2; е) y = .

III. Объяснение нового материала.

1. Перечислим основные свойства показательной функции y = ax.

1) D (f) = (–Ґ; +Ґ).

2) Ни четная, ни нечетная.

3) Монотонна. При 0 < a < 1 – убывает, при a > 1 – возрастает.

4) Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5) Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6) Непрерывна.

7) E (f) = (0; +Ґ).

8) Выпукла вниз.

Рассмотренные свойства функции позволяют решать многие задачи, которые условно можно разбить на группы:

I группа. Нахождение значения функции для заданного аргумента и, наоборот, нахождение значения аргумента для заданного значения показательной функции.

II группа. Сравнение чисел, записанных в виде степени с действительным показателем. Сравнение показателей степеней при известном соотношении степеней.

III группа. Исследование показательной функции на монотонность, ограниченность, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

IV группа. Графическое решение уравнений и неравенств вида
ax = b (ax > b и др.)

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 39.14, 39.15 (устно).

При выполнении данных упражнений учащиеся должны назвать функцию, указать её вид, назвать её график. Следует оперировать такими понятиями как монотонность, ограниченность.

2. № 39.16.

При выполнении этого задания ученики должны обосновать выбор ключевых точек, единичного отрезка, расположение графика, возрастание (убывание).

3. № 39.17 (а; б), 39.18 (а; б), 39.19 (а).

При выполнении данных заданий используются свойства монотонности показательной функции.

Решение:

№ 39.17.

а) Функция у = 1,3х – возрастает, так как 1,3 > 1. Так как 34 < 40, то 1,334 < 1,340;

б) Функция у = – убывает, так как 0 < < 1. Так как 16,2 > –3, то .

№ 39.18.