Математика. 10-11 классы. Уравнения и неравенства. Приемы, методы, решения

Подробное описание

Математика уже давно стала основным аппаратом современных технологий. В последние годы математические методы исследований широко используются не только в точных, но и в таких науках, как химия, экономика, биология, геология, медицина, лингвистика, археология и т. д. Поэтому не удивительно, что во всех технических вузах и на многих, в том числе и на некоторых гуманитарных, факультетах университетов поступающие сдают экзамены по математике.

Экзаменов по математике многие боятся. Однако слухи об особой сложности задач, предлагаемых на экзаменах, не соответствуют действительности. Причиной для беспокойства может быть слабое знание стандартной школьной программы. На вступительных экзаменах предлагаются задачи, которые решаются последовательным применением изучаемых в школе приемов и формул.

Как следует из программы, экзаменующийся должен уметь:

1. производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей;
2. проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;
3. строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрической функций;
4. решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящихся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;
5. решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;
6. изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости;
7. использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических задач;
8. проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций;
9. пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.

В каждом параграфе приводятся основные определения, рабочие формулы, излагаются методы решения, приводятся решения примеров.

Предлагаемый материал имеет, прежде всего, практическую направленность. В связи с этим в тексте содержится большое количество задач с решениями. Прежде чем изучать эти решения, желательно решить задачу самостоятельно, сравнить полученный ответ, а затем и само решение.

Неотъемлемой частью подготовки к экзаменам по математике является самостоятельное решение задач. В конце каждого параграфа приведен сравнительно небольшой набор заданий для самостоятельной работы. Эти задачи непременно нужно решить.

Содержание

Введение    3

Линейное уравнение с одной переменной. Квадратные уравнения    5

Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства    10

Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств    20

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля    25

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля    30

Решение иррациональных уравнений    34

Решение иррациональных неравенств    38

Решение показательных уравнений    41

Решение логарифмических уравнений    47

Решение показательных неравенств    54

Решение логарифмических неравенств    58

Примеры решения систем уравнений    64

Упражнения для самостоятельной работы    67

    Ответы, указания, решения    69

Тождественные преобразования тригонометрических выражений    71

Решение тригонометрических уравнений    80

Арифметическая и геометрическая прогрессии    94

Тригонометрические неравенства    100

Примеры систем тригонометрических уравнений    108

Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции    111

Упражнения для самостоятельной работы    114

    Ответы, указания, решения    115

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств    117

    Применение свойств квадратного трехчлена    117

    Использование свойств функций    118

    Свойство ограниченности    120

    Свойство монотонности    125

    Использование суперпозиций функций    128

    Геометрические интерпретации    132

    Два «почти одинаковых» решения одной задачи    133

    Три разных решения другой задачи    135

Упражнения для самостоятельной работы    136

    Ответы, указания, решения    138

Проверь себя    140

список заданий для самостоятельной работы    147

список основных обозначений    150

литература    152